By lixian (listen01@mail.ustc.edu.cn)
两种力量推动着数学的发展：一种是日常生活、生产的需要，是人类认识和改造世界的需要；另一种是数学自身完善的需要，是人类对理性的完善的需要。二者并不冲突，为了满足实际需要而建立数学概念，也必须依赖理性。只是第二种力量更强调兴趣而非实用的一面。
第一种力量是数学发展的最初推动力，这种力量让我们有了最基本的数与形的概念（自然数、分数，加、减、乘、除，直线、圆，垂直、平行、周长、面积）。第二种力量紧随其后，于是有了素数无穷多这样的认识，有了欧几里得的《几何原本》。两种力量交织，共同推动数学的发展。这两种力量也是我们每个人学习数学的两种动因：为了实际的需要和为了理性的完善。
人类数学的历史发展了至少五千年，直到1700年代，第二种力量都长期伴生于第一种，没有独立走出多远。1700年代起，随着一些伟大人物（欧拉、拉格朗日、高斯、阿贝尔、伽罗瓦、黎曼、柯西、庞加莱、康托）横空出世，以及科学职业化的滚滚浪潮，第二种力量强劲带动数学发展，到今天，已经把第一种力量远远地甩开了，使得数学真正成为一门独立的学科，也就是出现了纯粹数学。想知道到底甩了多远，可以去搜索一下实分析、泛函分析、微分流形、代数拓扑、代数几何、代数数论等等关键词。
不论是第一种力量推动的数学，还是第二种力量推动的数学，都研究数学概念。数学概念，比起非数学概念，有根本的不同。
尽管数学概念最初起源于实际的生活、生产，但是数学概念一经产生，就不再受限于具体事物，而是脱离物质，成为理性所直接掌握和认识的对象，而且不必再回到现实中去。这和物理学的精神有所不同：尽管物理学也提出抽象的概念，如质点、力，但是物理学的精神在于使用模型理解现实世界，即使是逻辑上自洽的概念和理论，如果与现实不相符，就是错的。但是，数学只在乎理解抽象的概念，满足于逻辑的完备，而不在乎现实中到底有没有相对应的事物。也正因此，数学命题，不以实验来检验。所谓实践是检验真理的唯一标准，适用于社会、经济、政治，适用于物理、化学、生物，唯独不适用于数学。数学命题唯一的检验标准是逻辑。这就是为什么数学书里到处是证明，而物理书一定要讲实验。
比如说，万有引力定律具有平方反比的函数形式，如果万有引力定律被证明是不符合现实的，就会被物理学抛弃，但是这种函数形式仍然可以被数学研究。如果一个数学概念在现实中找不到任何用武之地，第一种力量就会把它抛弃，但是第二种力量不会。
在第二种力量的驱使下，人们研究了许多相当抽象的数学概念，它们即使有可能在现实中找到用武之地，也并不依赖于现实而存在，比如n次的多项式，n维的欧式空间，n维的流形。其实，即便由第一种力量驱使，人们也可以认识在现实中完全找不到的数学对象：不必举什么深奥的例子，你只要随手写下一个很大很大的自然数，比如10^10000000，请问你能给我10^10000000个苹果吗？请问酒店里有10^10000000号房间吗？宇宙中有10^10000000个原子吗？这个数目如此之大（如果不够大，请再写个大一点的数），以至于现实中不存在直接的对应物。可见，不论是由第一种力量还是由第二种力量推动，人们都根据理性原则认识数学概念，数学概念的根基也只在于理性而不是现实世界实存之物。
出于两种不同的动因学习数学，应当选取不同的材料，但是应遵循的方法其实没有特别的差异。
选取材料： 例如，学习一元多项式方程的求解，如果是为了实际应用，那么你也许应该专门学习数值求解方法；如果是为了理论的完善，你也许应该学习代数基本定理、伽罗瓦理论等等。又例如，如果是为了实际应用，学习线性代数，你也许不需要知道线性空间一定有一组基这个理论事实；学习微积分，你也许不需要知道存在着处处连续但是处处不可导的函数。但是如果为了理论的完善，你最好懂得这些。
那么，选择了符合自己需要的材料之后，该如何学习数学呢？ 有一些古训，当然仍然适用：循序渐进；学而时习之；学而不思则罔，思而不学则殆。
学习数学，尤其要注意：感性与理性相结合，具体与抽象相结合。 数学诞生于感性和具体的东西，生出来之后变成抽象的、理性的东西。学习数学也要遵循这个规律。从具体的例子入手，到抽象的、理性的认识为止。 尤其要避免两种危险的倾向： 第一种危险的倾向是：只有感性的认识，只理解具体的例子，缺乏抽象层面的理性认识。尤其是一些同学，以为会算点例子就够了，这是对数学的误解。一个典型的例子是：给你两个正整数，用辗转相除法计算它们的最大公约数。这套程序教给小学生，小学生也很容易学会。无非就是不停地用除数除以余数，最后就能得到一个数。只要算几个例子，你就可以掌握这个程序。可是，为什么执行这套程序就一定能得到最大公约数？你算了几个例子，只不过是有了一点感性认识，以这些感性认识作为基础，加以思索，才能最终认定：这么做确实能得到最大公约数，这是因为余数不断减小，又不可能小于零，因此只能归于零，所以程序必定在有限步终止；另一方面，每一步计算时，被除数与除数的最大公约数保持不变，所以最终得到的数就是最初两个数的最大公约数。如果你只是会算，而没有后面这些理论思索，那么，你与一台计算机无异，你并没有学会数学。 第二种危险的倾向是：只懂得抽象的概念及论证，而不掌握具体的例子。实际上，如果心里没有具体的例子作为感性认识的基础，而想直接具备理性认识，那么，即使学到了一点抽象的语言，对数学概念的认识也是空洞乏味的。比如说，学习群论时，只懂得群是具有一个运算的集合（运算具有结合律、存在单位元和逆元），即使你连着把子群、商群，乃至西罗定理都学了，却不清楚置换群、矩阵群的例子，大概就等于啥也没学。况且，一时记住了这些概念和定理，如果心中没有具体的例子，大概很快就会把他们全忘掉。
这里还有另外的两个建议，它们可能也适用于其它学科。一个是注意数学的历史性与现代性，一个是注意数学的思想性与技术性。
数学的历史性与现代性：数学是人创造的学问，每个概念都有它的历史渊源，并有其历史脉络，最终表现为今天的形貌。当你对一个数学概念、数学命题的现代形貌感到困惑的时候，不妨去寻找它的历史，看看它由什么发展而来，最初因为什么而出现。不过，也不必处处迷信古人，古人的认识经过后人的发展，往往在今天变得比原来更加凝练。当代的数学概念，也并不会停止在当代，它们也会继续发展。有些概念也许会被统一起来，多余的条件也许会被舍弃。所以，一些你不喜欢的东西，可能是时代所限，会在未来消失，或者变得更好（也许你就是这个让它变好的人）。
数学的思想性与技术性：数学研究对象是由人选取的，反映了人的需要、人的情趣，尽管逻辑上可以创造各种可能的数学概念，但是只有那些符合人的需要或者情趣的概念是对人有意义的概念，因而被保留和研究，比如素数，比如实数，比如导数和积分，比如流形。这体现了数学的思想性。但是，正如前面所言，数学概念一经产生，就不再受限于具体事物，而是脱离物质，成为理性所直接掌握和认识的对象。要研究数学概念，就得借助于具体的技术，或者技巧。有时需要为命题添上一些“技术性”条件；有时为了证明一个主要定理，需要先证明一些“技术性”引理；有时为了证明定理，需要使用特别的论证“技巧”。比起数学的思想性，一般来说数学的技术性一面显得枯燥、不自然、费劲，而那些技术性的东西，也许会在未来被取代或者消除。在我们学习数学时，有时候可以暂时地跳过技术性的东西，首先抓住思想性的部分。但是，这并不是说可以完全不管技术性的东西。这就好比你懂得文字可以用来记事，但是你非得学会一种具体的文字，乃至拥有笔和纸，才能实现这种想法。“文字可以用来记录”就是思想，“具体的文字以及笔和纸”就是技术。技术性保证思想性不至于沦为空想，技术使思想具备坚实的基础。
最后一个建议，和开头呼应一下：当你遇到一个数学概念，却不知道为啥要有这么一个概念，为啥要学这么一个东西的时候，答案是要么因为它有用，要么因为它有趣。这时候，你应该试着了解一下它的历史，它的用处，它的思想，翻翻你的教材之外的资料，另外的数学书、数学史，或者其他学科的材料，你一定会有所收获。